統計的方法の基礎（正規分布・二項分布）の要点とひっかけ（QC検定3級 論点テキスト）

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手法分野（3級）｜3論点・要点20本・ひっかけ13本・式6本

• 正規分布の性質
• 正規分布の確率計算
• 二項分布

正規分布の性質

正規分布の形、二つの母数、±σの範囲に入る確率、使われる場面を扱う論点。68.3%・95.4%・99.7%がよく問われる。

要点

• 正規分布は、平均値を中心に左右対称な釣鐘型の分布である。
• 正規分布では、平均値・最頻値・中央値が一致する。
• 正規分布の形は、平均（中心位置）と標準偏差（広がり具合）の二つのパラメータで決まる。
• 平均値±1σに約68.3%、±2σに約95.4%、±3σに約99.7%のデータが含まれる。セットで覚える。
• 管理図の管理限界線が3σを基準にしているのは、±3σに約99.7%が含まれる性質を利用しているためである。
• 正規分布は、長さ・重さ・時間などの計量値のばらつきを表すモデルとしてよく使われる。

ひっかけ

• 不適合品の個数のような計数値には、正規分布でなく二項分布などを使うことが多い。
• 95.4%は±2σ、99.7%は±3σの値で、±1σの値は68.3%である。取り違えない。
• 標準偏差が変わると形も変わる。平均が同じでも標準偏差が大きいほど、分布は横に広がる。
• ±3σでも含まれる確率は100%にはならない。どの範囲でも100%は実現しない。

式

• 平均値±σの範囲に入る確率±1σ＝約68.3%、±2σ＝約95.4%、±3σ＝約99.7%

正規分布の確率計算

正規分布の標準化と、標準正規分布表の値を使った不適合率（片側・両側）の求め方を扱う論点。

要点

• 標準化した値uは、測定値が平均から標準偏差何個分離れているかを表す。
• 平均μ=50、標準偏差σ=5で、x=60を標準化するとu＝(60−50)/5＝2になる。
• 平均より小さい側の値は符号がマイナスになる。μ=100、σ=10、x=85ならu＝−1.5である。
• 上限規格に対応するuが1.96のとき、規格の外側の確率はそのまま片側の2.5%になる。
• 上限側2.5%と下限側2.5%を合計すると、いずれかの規格を外れる確率は5.0%になる。
• μ=60、σ=8、上限規格76ならu＝(76−60)/8＝2.0で、u=2.0以上の片側確率2.28%がそのまま不適合率になる。
• μ=100、σ=5、下限規格90ならu＝(90−100)/5＝−2.0で、下側の確率2.28%が不適合率になる。

ひっかけ

• 上限だけを問うときは、与えられた片側確率をそのまま使う。2倍したり1から引いたりしない。
• 上限・下限の両方を考えるなら両側を合計する。片側だけでは規格外れの確率を過小に見積もる。
• ±2σの範囲に入る確率95.4%と、片側の不適合率2.28%を混同しない。
• 下限側もuの符号がマイナスになるだけで、確率の求め方は上限側と同じである。

式

• 標準化u＝(x−μ)/σ測定値が平均から標準偏差何個分離れているかを表す。

二項分布

二項分布の意味、平均np、標準偏差、確率計算（余事象を含む）を扱う論点。不適合品数など計数値の分布として出る。

要点

• 二項分布は、独立したn回の試行の中で、ある事象が起こる回数を表す離散分布である。
• 二項分布の平均はnpである。n=100、p=0.05なら、np＝100×0.05＝5個になる。
• 標準偏差は√(np(1−p))で求める。n=100、p=0.36なら√23.04＝4.8である。
• n=5、p=0.1で不適合品が1個もない確率は、P(X=0)＝(1−p)^n＝0.9^5＝0.59049で、約59.0%である。
• n=5、p=0.2でちょうど1個の確率は、5×0.2×0.4096＝0.4096で、約41.0%である。
• n=4、p=0.1でちょうど2個の確率は、6×0.01×0.81＝0.0486で、約4.9%である。
• 「少なくとも1個」の確率は、余事象を使って1−P(X=0)で求める。n=5、p=0.2なら1−0.32768＝0.67232で、約67.2%である。

ひっかけ

• 組合せの数nCkを掛け忘れない。掛け忘れると、ちょうど1個の確率が8.2%のように小さくなりすぎる。
• 二項分布は計数値の分布で、計量値の分布ではない。分布の形はnとpで決まり、平均と標準偏差で決まる正規分布とは異なる。
• 標準偏差はnp(1−p)を計算してから平方根をとる。npをそのまま答えたり、平方根を忘れたりしない。
• 「少なくとも1個」の確率にP(X=0)そのものの32.8%を答えない。1から引いた67.2%が正しい。
• 長さや重さなど計量値のばらつきを表すのは正規分布で、二項分布は個数を数える計数値に使う。

式

• 二項分布の確率P(X=k)＝nCk×p^k×(1−p)^(n−k)X=0のときはP(X=0)＝(1−p)^nになる。
• 二項分布の平均平均＝np
• 二項分布の標準偏差標準偏差＝√(np(1−p))
• 余事象少なくとも1個の確率＝1−P(X=0)

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関連ページ

→ 3級の計算問題対策（電卓事情・頻出の式まとめ）
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→ どんな問題が出るか（公式問題例の実測）
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出典と作り方

この読み物は、日本規格協会「品質管理検定レベル表」（Ver.20150130.2）の項目の順に、アプリ「QCウカール」の収録問題の解説をもとにアプリ製薬が作成したものです。公式の文章の転載ではありません。 問題文・選択肢は載せていません。

• 品質管理検定レベル表 3級（https://webdesk.jsa.or.jp/pdf/qc/md_4609.pdf）
• 品質管理検定レベル表 4級（https://webdesk.jsa.or.jp/pdf/qc/md_4610.pdf）